1. Optimización de cartera

Con los retornos esperados μ, las volatilidades σ y la matriz de correlaciones ρ se arma la matriz de covarianzas Σᵢⱼ = ρᵢⱼ σᵢ σⱼ. Cada punto de la frontera resuelve:

Variando la aversión al riesgo λ desde 0 (mínima varianza) hasta valores altos (máximo retorno) se recorre toda la frontera. El problema se resuelve numéricamente con gradiente proyectado acelerado. Los pesos mínimos pueden ser negativos, lo que permite ventas en corto.

Rango de resultados. La caída normal máxima en un año con 99% de confianza es μₚ − 2,33·σₚ y la suba máxima μₚ + 2,33·σₚ (con 95%: ±1,64·σₚ). Es un valor en riesgo paramétrico que supone retornos normales: en 1 de cada 100 años se espera una caída mayor, y en las crisis las colas son más gruesas que las de la normal.

El ratio de Sharpe es (μₚ − r_f) / σₚ. La cartera de máximo Sharpe es la cartera tangente a la línea del mercado de capitales.

Supuestos. El retorno y la volatilidad de cada clase son supuestos a futuro que carga el docente o el alumno (los valores iniciales son ilustrativos). Las correlaciones también son supuestos editables; sus valores iniciales son las correlaciones históricas 1928–2025 de A. Damodaran (NYU Stern), y el botón “Cargar históricas” las recalcula para el período elegido. Cada clase elige su equivalente en esa base (por ejemplo, MSCI ACWI → S&P 500), que se usa solo para calcular las caídas y subas históricas de cada cartera. El supuesto que se carga es el retorno geométrico (compuesto); el aritmético se calcula como a ≈ g + σ²/2 y es el que usan la frontera, el rango normal de 99% (a ± 2,33σ) y el plan. La volatilidad de cada cartera sale de los pesos, las volatilidades y las correlaciones: σₚ = √(w'Σw), y su retorno geométrico es aₚ − σₚ²/2. Las caídas y subas reales de cada cartera (peor y mejor año) se calculan aplicando sus pesos a los retornos históricos. Para cada % en acciones de 0% a 100%, el resto de la cartera se elige con el criterio que marques: menor volatilidad (mínima varianza) o mejor relación retorno/riesgo (máximo Sharpe), siempre dentro de los límites de peso.

2. Plan financiero

Cada año de cada simulación, desde la edad actual hasta la edad final:

Los ahorros y retiros ocurren al final del año, como en la planilla. La probabilidad de éxito es la proporción de simulaciones con patrimonio positivo al terminar el último año del plan. Los valores “reales” dividen por la inflación acumulada, para expresarlos en dólares de hoy.

Cada simulación usa su propio generador de números aleatorios derivado de la semilla. Por eso, con la misma semilla, toda la clase ve los mismos resultados. El cálculo de “retiro máximo sostenible” y “ahorro necesario” usa esos mismos escenarios y busca el valor por bisección.

3. Tu número

Después de jubilarse, el capital rinde igual que la inflación (retorno real 0%), así que alcanza exactamente para m retiros que crecen con la inflación. A lo que falta se le resta el ahorro actual capitalizado a la tasa nominal.

Ahorro fijo: el mismo monto en US$ corrientes cada año, con la tasa nominal: falta / [((1+r)^k − 1)/r · (1+r)^e], donde k son los años de ahorro y e los años entre que dejás de ahorrar y te jubilás.
Ahorro ajustado por inflación: un monto en US$ de hoy que crece con la inflación, con la tasa real rr = (1+r)/(1+π) − 1 sobre lo que falta expresado en US$ de hoy.

Número factible: parte de lo que podés ahorrar. El ahorro actual más el ahorro planeado, capitalizados hasta la jubilación, dan el número factible. Dividido por los años de jubilación da el retiro anual al jubilarse, y dividido por (1+π)^n su poder de compra de hoy. Dividido por 12 y sumando la jubilación prevista se obtiene el gasto mensual factible. Los aportes son a fin de año.

4. Diferencias con la planilla original

• Costos en la jubilación. En la planilla, el año 1 cobra costos hasta la edad final, pero los demás años solo hasta la jubilación. Ahora es una opción explícita, activada por defecto.
• Crédito fiscal por pérdidas. La planilla “devuelve” impuesto cuando el rendimiento es negativo. Se mantiene por defecto, y se puede desactivar.
• Colchón de retiro. La fórmula de la columna “% cartera retiro” (5 años de retiros invertidos a la inflación) ahora tiene parámetros: cantidad de años y spread sobre inflación.
• Iteraciones. Reemplaza a la macro ciclos. No hace falta habilitar macros ni @RISK.
• Retornos. Igual que la planilla: distribución normal con media aritmética, sin autocorrelación entre años.

Preguntas para la clase

• ¿Por qué la cartera de mínima varianza tiene menos volatilidad que cualquiera de sus activos?
• Agregá un límite máximo de 20% a acciones emergentes. ¿Cuánto se mueve la frontera? ¿Qué cuesta la restricción?
• Armá “tu cartera” en la tabla. ¿Está sobre la frontera? ¿Qué cartera eficiente tiene el mismo riesgo y más retorno?
• Con la misma cartera, ¿cuánto cambia la probabilidad de éxito si los costos bajan de 2% a 1%?
• Compará la vida peor y la mejor. ¿Cuánto pesa la secuencia de retornos cerca de la jubilación?
• ¿Qué pasa con la probabilidad de éxito al pasar el colchón de 0 a 5 años? ¿Y la mediana del valor final?

Supuestos y límites

Es un modelo educativo. Supone retornos normales e independientes entre años, parámetros constantes y no incluye otros ingresos de jubilación (BPS, AFAP), gastos extraordinarios ni longevidad aleatoria. Los resultados no constituyen asesoramiento de inversión.

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